Marcel Nijman
marcel "at" marcelnijman "dot" Nederland
Om het zoeken in te perken gaan we geen blokjes leggen op zoek naar een convexe polygoon, maar zoeken we eerst uit welke polygonen mogelijk zijn.
Een convexe polygoon heeft binnenhoeken < 180 graden. Gezien de beschikbare blokjes zijn de mogelijke hoeken 45, 90 en 135 graden. Dit betekent dat al onze convexe polygonen te beschouwen zijn als een rechthoek waar van de vier hoeken (eventueel) iets afgeknipt is.
Bij een schuine knip van horizontaal 1 blokje wordt ½ blokje weggeknipt. In de volgende tabel staat hoeveel je wegknipt.
| zijde | opp. |
| 1 | ½ |
| 2 | 2 |
| 3 | 4½ |
| 4 | 8 |
| 5 | 12½ |
| 6 | 18 |
De totale oppervlakte van de blokjes is 9. Van de rechthoeken moet je dus steeds zoveel afknippen dat je 9 overhoudt. Hoe dat gedaan kan worden staat in de tweede kolom van de volgende tabel.
| 3x3=9 | 0 |
| |
| 4x3=12 | 3 = 2 + ½ + ½ | kleine knippen naast elkaar aan korte zijde |
|
| kleine knippen naast elkaar aan lange zijde |
| ||
| kleine knippen tegenover elkaar |
| ||
| 4x4=16 | 7 = 4½ + 2 + ½ |
| |
| 5x2=10 | 1 = ½ + ½ | knippen naast elkaar aan korte zijde |
|
| knippen naast elkaar aan lange zijde |
| ||
| knippen tegenover elkaar |
| ||
| 5x3=15 | 6 = 2 + 2 + 2 | kan niet | |
| 6 = 4½ + ½ + ½ + ½ | kan niet | ||
| 5x4=20 | 11 = 8 + 2 + ½ + ½ | kan niet | |
| 5x5=25 | 16 = 8 + 8 |
| |
| 16 = 4½ + 4½ + 4½ + 2½ | kan niet | ||
| 6x2=12 | 3 = 2 + ½ + ½ |
| |
| 6x3=18 | 9 = 4½ + 4½ | knippen naast elkaar |
|
| knippen tegenover elkaar |
| ||
| 6x4=24 | 15 = 8 + 4½ + 2 + ½ | kan niet | |
| 6x5=30 | 21 = 12½ + 8 + ½ |
| |
| 6x6=36 | 27 = 18 + 8 + ½ + ½ | kan niet | |
| 27 = 18 + 4½ + 4½ | kan niet |
|
Grotere rechthoeken hoeven we niet te bekijken: bij 6x6 is de oplossing al op z'n smalst.
Er zijn dus 13 verschillende convexe polygonen met oppervlakte 9.
De totale oppervlakte van de blokjes is nu 8.
| 3x3=8 | 1 = ½ + ½ | knippen naast elkaar | 
|
| knippen tegenover elkaar | 
| ||
| 4x2=8 | 0 | 
| |
| 4x3=12 | 4 = 2 + 2 | knippen naast elkaar | 
|
| knippen tegenover elkaar | 
| ||
| 4x4=16 | 8 = 8 | 
| |
| 8 = 2 + 2 + 2 + 2 | 
| ||
| 5x2=10 | 2 = 2 | 
| |
| 2 = ½ + ½ + ½ + ½ | 
| ||
| 5x3=15 | 7 = 4½ + 2 + ½ | grote knippen naast elkaar | 
|
| grote knippen tegenover elkaar | 
| ||
| 5x4=20 | 12 = 8 + 2 + 2 | kan niet | |
| 5x5=25 | 17 = 12½ + 4½ | 
| |
| 17 = 8 + 8 + ½ + ½ | 
| ||
| 6x2=12 | 4 = 2 + 2 | knippen naast elkaar | 
|
| knippen tegenover elkaar | 
| ||
| 6x3=18 | 10 = 8 + 2 | kan niet | |
| 6x4=24 | 16 = 8 + 8 | 
| |
| 6x5=30 | 22 = 18 + 2 + 2 | kan niet | |
| 6x6=36 | 28 = 18 + 8 + 2 | kan niet |
We komen dus tot 16 oplossingen.
Zonder het kleine blokje zijn er dus meer oplossingen. Dat is ook logisch, want dan is het benodigde oppervlak even en de meeste rechthoeken hebben ook een even oppervlak. Het verschil is dus vaker even dan in de situatie mét het kleine blokje, en even getallen laten zich makkelijker schrijven als som van de getallen uit de eerste tabel. Het heeft dus niks te maken met de vorm van dat blokje, maar alleen met zijn oppervlak. Alle gevonden polygonen zijn namelijk op zo enorm veel manieren te betegelen dat er geen sprake is van "lastige" blokjes.
De maximale omtrek wordt uiteraard begrensd door de som van de omtrekken van de afzonderlijke blokjes. Zijdes die grenzen aan een ander blokje tellen niet mee voor de omtrek, dus voor een maximale omtrek moeten die grenzen zo klein mogelijk gekozen worden. Alle blokjes zijn aan elkaar te leggen met de korte zijde (van lengte 1), behalve de grote driehoek. Hoe de blokjes verder precies liggen is niet belangrijk.
omtrek
= totale omtrek - 2⋅grenzen
= (22 + 14 √2) - 2 (7 + √2)
= 8 + 12 √2
≈ 25,0
De kleinste omtrek heeft de 4x3 rechthoek met drie afgeknipte hoekjes (namelijk 6 + 4 √2 ≈ 11,7). Die is iets kleiner dan het vierkant (die een omtrek heeft van 12).
Zonder het kleine blokje wordt de langste omtrek 2 korter:
omtrek = 6 + 12 √2 ≈ 23,0
De kleinste omtrek heeft de 3x3 rechthoek met twee afgeknipte hoekjes (namelijk 8 + 2 √2 ≈ 10,8). Die is iets kleiner dan het vierkant (die een omtrek heeft van 8 √2 ≈ 11,3). Het eerste figuur ziet er ook iets meer uit als een cirkel.